Bayes theorem, the geometry of changing beliefs

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Teorema de Bayes

🎯 Teorema de Bayes

Em poucas palavras

Qual é a probabilidade de uma hipótese ser verdadeira dado que a evidência é verdadeira? Essa probabilidade é igual à probabilidade conjunta de a hipótese ser verdadeira e a evidência ser verdadeira, dividida pela probabilidade de a evidência ser verdadeira

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📝 Notas e Desenvolvimento

Matematicamente é expresso por:

$P(h|e)=\frac{p(h)p(e|h)}{p(h)p(e|h)+p(\neg h)p(e|\neg h)}$

$P(h|e)=\frac{p(h)p(e|h)}{p(e)}$

Sendo:

• E: Evidência
• H: Hipótese

Uma forma visual de interpretar este resultado é pensar no seguinte caso:

:: Referências: :: Bayes theorem, the geometry of changing beliefs
:: Referência :: Teorema de Bayes – Wikipédia, a enciclopédia livre

Demonstração Visual do Teorema de Bayes

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🔗 Conexões e Contexto

• Atlas: MdC - Matemática
• Notas Relacionadas:
  • O andar do bêbado

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📚 Referências e Fontes

Links Externos

• Teorema de Bayes – Wikipédia, a enciclopédia livre
• Bayes theorem, the geometry of changing beliefs

Citações Diretas

📂 Outros Conteúdos Preservados

Exemplo de Uso - Teste de Drogas

Suponha que um teste específico para saber se alguém está usando cannabis seja 90% sensível, o que significa que a taxa de verdadeiros positivos (TVP) = 0.90. Portanto, ele leva a 90% de resultados verdadeiros positivos (identificação correta do uso de drogas) para usuários de cannabis.

O teste também é 80% específico, o que significa que a taxa de verdadeiros negativos (TVN) = 0.80. Portanto, o teste identifica corretamente 80% do não-uso para não-usuários, mas também gera 20% de falsos positivos, ou taxa de falsos positivos (TFP) = 0.20, para não-usuários.

Assumindo uma prevalência de 0.05, o que significa que 5% das pessoas usam cannabis, qual é a probabilidade de que uma pessoa aleatória que testa positivo seja realmente um usuário de cannabis?

O Valor Preditivo Positivo (VPP) de um teste é a proporção de pessoas que são realmente positivas de todas aquelas que testaram positivo, e pode ser calculado a partir de uma amostra como:

$VPP=\text{Verdadeiro positivo}/\text{Testado positivo}$

Se a sensibilidade, especificidade e prevalência são conhecidas, o VPP pode ser calculado usando o teorema de Bayes. Seja $P(\text{Usuaˊrio}|\text{Positivo})$ o significado de “a probabilidade de que alguém seja um usuário de cannabis dado que testa positivo”, que é o que o VPP significa. Podemos escrever:

$P(\text{Usuaˊrio}|\text{Positivo})=\frac{P(\text{Positivo}|\text{Usuaˊrio})P(\text{Usuaˊrio})}{P(\text{Positivo})}$

$P(\text{Usuaˊrio}|\text{Positivo})=\frac{P(\text{Positivo}|\text{Usuaˊrio})P(\text{Usuaˊrio})}{P(\text{Positivo}|\text{Usuaˊrio})P(\text{Usuaˊrio})+P(\text{Positivo}|\text{Na˜o-usuaˊrio})P(\text{Na˜o-usuaˊrio})}$

$P(\text{Usuaˊrio}|\text{Positivo})=\frac{0.90\times 0.05}{0.90\times 0.05+0.20\times 0.95}=\frac{0.045}{0.045+0.19}\approx 19\%$

O denominador

$P(Positivo)=P(Positivo|Usu\acute{a}rio)P(Usu\acute{a}rio)+P(Positivo|N\tilde{a}o-usu\acute{a}rio)P(N\tilde{a}o-usu\acute{a}rio)$ é uma aplicação direta da Lei da Probabilidade Total. Neste caso, ela diz que a probabilidade de que alguém teste positivo é a probabilidade de que um usuário teste positivo vezes a probabilidade de ser um usuário, mais a probabilidade de que um não-usuário teste positivo, vezes a probabilidade de ser um não-usuário. Isso é verdade porque as classificações usuário e não-usuário formam uma partição de um conjunto, ou seja, o conjunto de pessoas que fazem o teste de drogas. Isso combinado com a definição de probabilidade condicional resulta na declaração acima.

Em outras palavras, se alguém testa positivo, a probabilidade de que ele seja um usuário de cannabis é de apenas 19% — porque, neste grupo, apenas 5% das pessoas são usuárias, e a maioria dos positivos são falsos positivos provenientes dos 95% restantes.

Se 1.000 pessoas fossem testadas:

• 950 são não-usuários e 190 delas dão falso positivo (0.20 × 950)
• 50 são usuários e 45 delas dão verdadeiro positivo (0.90 × 50)

As 1.000 pessoas, portanto, têm 235 testes positivos, dos quais apenas 45 são genuínos, cerca de 19%.

Aparições

A Teoria de Bayes trata essencialmente do que acontece com a probabilidade de um evento se outros eventos ocorrem, ou à medida que ocorrem.

Esta é provavelmente a maneira mais simples de ver as ideias de Bayes - é apenas uma questão de contagem. Primeiramente, escrevemos o Espaço amostral - ou seja, uma lista de todas as possibilidades - juntamente com suas probabilidades individuais, se nem todas forem iguais (esta é realmente uma boa ideia quando analisamos qualquer questão confusa ligada à probabilidade). Em seguida, riscamos as probabilidades eliminadas pela condição. O que resta são as possibilidades restantes e suas probabilidades relativas.

Na terminologia Bayesiana, as estimativas iniciais são chamadas de probabilidades a priori, e as novas suposições, probabilidades a posteriori.

:: Referência :: O andar do bêbado

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